椭圆混合模型

椭圆混合湍流模型用于求解湍动能 $k$ 、湍流耗散率 $ε$ 、标准化（折算）壁面法向应力分量 $φ = \bar{ϑ^{2}} / k$ 和椭圆混合因子 $α$ 的传输方程，以确定湍流涡粘度。

Durbin [331] 提出了适用于雷诺应力模型的椭圆松弛概念。初始模型需要对六个额外传输方程求解，但后来减少到只需对一个额外方程求解。该模型后来由 Manceau 和 Hanjalić [334] 加以简化，更符合行业标准。

模型变体

Simcenter STAR-CCM+ 中实现了椭圆混合模型的两种变体：


模型变体	缩写
标准椭圆混合	EBS
滞后椭圆混合	EBL

标准椭圆混合

椭圆松弛模型推动了以 $\overline{ϑ^{2}} – f$ 模型开始的一些双方程涡流粘度模型的开发。其中，最稳定（据其作者声称）的一个模型是 Billard 和 Laurence [330] 提出的模型。 $B L - \overline{ϑ^{2}} / k$ 对此模型进行一番重大修正之后，它能真正稳定地处理复杂流几何。

使用 Billard - Laurence 模型的优点包括：

改进了现有可实现的模型的精度，特别是在近壁区域。 $k - ε$
改进了 SST $k - ω$ 模型的稳定性。

滞后椭圆混合

滞后椭圆混合模型将标准椭圆混合模型与 Revell 等人 [ref_link] 最先提出的应力-应变滞后概念相结合。[336]。

在非平衡效应导致应力和应变率张量的主分量不一致的流体区域中，线性涡流粘度模型会过度预测的结果。 $k$ 为了克服这种效应，滞后椭圆混合模型包含了这些分量之间的角度。额外项将对各向异性效应（类似于非线性本构关系）以及曲率和旋转效应（类似于曲率校正）建模。这些项直接嵌入折算应力函数 [335] 的传输方程中。 $φ$

滞后椭圆混合模型可以很好地预测分离或非稳态流（例如涡流脱落）或具有旋转或强流线曲率的流体。

湍流粘度关系

湍流涡粘度 $μ_{t}$ 计算如下：

图 1. EQUATION_DISPLAY

μ_{t} = ρ C_{μ} φ k \min (T, \frac{C_{T}}{\sqrt{3} C_{μ} φ S})

(1265)

其中：

$ρ$ 为密度。
$C_{μ}$ 和 $C_{T}$ 为模型系数。
$T$ 为湍流时间尺度。
$S$ 由 Eqn. (1129) 给出。

湍流时间尺度计算如下：

图 2. EQUATION_DISPLAY

T = \sqrt{T_{e}^{2} + C_{t}^{2} \frac{ν}{ε}}

(1266)

其中：

$T_{e} = \frac{k}{ε}$ 为大涡时间尺度。
$C_{t}$ 为模型系数。
$ν$ 为运动粘度。

输运方程

四个变量 $k$ 、 $ε$ 、 $φ$ 和 $α$ 的传输方程如下：

图 3. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial}{\partial t} (ρ k) + \nabla\cdot (ρ k \bar{v}) = \nabla\cdot [(\frac{μ}{2} + \frac{μ_{t}}{σ_{k}}) \nabla k] \begin{matrix} + P_{k} - ρ (ε - ε_{0}) + S_{k} \end{matrix}

(1267)

图 4. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial}{\partial t} (ρ ε) + \nabla\cdot (ρ ε \bar{v}) = \nabla\cdot [(\frac{μ}{2} + \frac{μ_{t}}{σ_{ε}}) \nabla ε] + \frac{1}{T_{e}} C_{ε 1} P_{ε} - C_{ε 2}^{*} ρ (\frac{ε}{T_{e}} - \frac{ε_{0}}{T_{0}}) + S_{ε}

(1268)

图 5. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial}{\partial t} \begin{matrix} (ρ φ) + \nabla\cdot (ρ φ \bar{v}) = \nabla\cdot [(\frac{μ}{2} + \frac{μ_{t}}{σ_{φ}}) \nabla φ] \end{matrix} \begin{matrix} + ρ \frac{ε_{0} φ_{0}}{k_{0}} + P_{φ} + S_{φ} \end{matrix}

(1269)

图 6. EQUATION_DISPLAY

\nabla\cdot (L^{2} \nabla α) \begin{matrix} = α - 1 \end{matrix}

(1270)

其中：

$\bar{v}$ 为平均速度。
$μ$ 为动力粘度。
$P_{k}$ 、 $P_{ε}$ 和 $P_{φ}$ 为结果项。
$C_{ε 1}$ 、 $C_{ε 2}^{*}$ 、 $σ_{k}$ 、 $σ_{ε}$ 和 $σ_{φ}$ 为模型系数。
$S_{k}$ 、 $S_{ε}$ 和 $S_{φ}$ 为用户指定的源项。

$L$ 为湍流长度尺度，计算如下：

图 7. EQUATION_DISPLAY

L = C_{L} \sqrt{\frac{k^{3}}{ε^{2}} + {C_{η}}^{2} \sqrt{\frac{ν^{3}}{ε}}}

(1271)

其中， $C_{L}$ 和 $C_{η}$ 为模型系数。

$ε_{0}$ 、 $φ_{0}$ 和 $k_{0}$ 为抵消湍流衰减的环境湍流值 [316]。可以施加环境源项还会导致单位时间尺度 $T_{0}$ 的定义如下：

图 8. EQUATION_DISPLAY

T_{0} = \max (\frac{k_{0}}{ε_{0}}, C_{t} \sqrt{\frac{ν}{ε_{0}}})

(1272)

结果项

结果项 $P_{k}$ 、 $P_{ε}$ 和 $P_{φ}$ 的公式取决于椭圆混合模型变体：


模型变体	$P_{k}$	$P_{ε}$
EBS	图 9. EQUATION_DISPLAY $G_{k} + G_{b} - ϒ_{M}$ (1273)	图 10. EQUATION_DISPLAY $G_{k} + {C_{ε 3} G}_{b} + \frac{1}{C_{ε 1}} E$ (1274)
EBL	图 9. EQUATION_DISPLAY $G_{k} + G_{b} - ϒ_{M}$ (1273)


模型变体	$P_{φ}$
EBS	图 11. EQUATION_DISPLAY $- \frac{φ}{k} (G_{k} + G_{b}) + ρ (1 - α^{3}) f_{w} + {ρ α}^{3} f_{h}$ (1275) 其中： $f_{w} = - \frac{1}{2} \frac{φ}{T_{e}}$ $f_{h} = - \frac{1}{T} (C_{1} - 1 + C_{2} \frac{G_{k} + G_{b}}{ρ ε}) (φ - \frac{2}{3})$
EBL	图 12. EQUATION_DISPLAY $- (2 - C_{ε 1}) \frac{φ}{k} (G_{k} + G_{b}) + ρ (1 - α^{3}) f_{w} + ρ α^{3} f_{h}$ (1276) 其中： $f_{w} = - (C_{ε 2} - 1 + 5 - \frac{1}{C_{μ}}) \frac{φ}{T_{e}}$ $f_{h} = - \frac{1}{T_{e}} (C_{1} + C_{ε 2} - 2 + C_{1}^{} \frac{G_{k} + G_{b}}{ρ ε}) φ + \frac{C_{P 3}}{T_{e}} + \frac{C_{3}^{}}{\sqrt{2}} φ S + \frac{1}{S^{2} T_{e}} [\frac{2}{C_{μ}} (1 - C_{4}) A S - \frac{2}{C_{μ}} (1 - C_{5}) A \hat{W}] : S$ $A$ 为雷诺应力各向异性张量，定义如下： $A = - 2 \frac{μ_{t}}{ρ k} [S + \frac{2 - 2 C_{5}}{C_{1} + C_{1}^{*} + 1} \frac{2}{\sqrt{(S + \hat{W}) : (S + \hat{W})}} (S \hat{W} - \hat{W} S)]$ 其中， $S$ 由 Eqn. (1130) 给出。 $\hat{W}$ 为已修正绝对涡旋张量，由以下公式给出： $\hat{W} = \tilde{W} - W^{s}$ 其中， $\tilde{W}$ 由 Eqn. (1133) 给出， $W^{s}$ 为 Spalart-Shur 张量，由以下公式给出： $W^{s} = \frac{1}{S^{2}} (S \frac{D S}{D t} - \frac{D S}{D t} S)$

其中：

$C_{1}$ 、 $C_{1}^{*}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3}^{*}$ 、 $C_{4}$ 、 $C_{5}$ 、 $C_{ε 2}$ 、 $C_{ε 3}$ 、 $C_{μ}$ 和 $C_{P 3}$ 为模型系数。

对结果项的贡献如下：


	描述	公式	其中：
$G_{k}$	湍流结果	图 13. EQUATION_DISPLAY $μ_{t} S^{2} - \frac{2}{3} ρ k \nabla\cdot \bar{v} {- \frac{2}{3} μ}_{t} {(\nabla\cdot \bar{v})}^{2}$ (1277)	-
$G_{b}$	浮力结果	图 14. EQUATION_DISPLAY $β \frac{μ_{t}}{\Pr_{t}} (\nabla \bar{T} \cdot g)$ (1278)	$β$ 为热膨胀系数。对于使用 Boussinesq 近似的恒密度流， $β$ 由用户指定。对于理想气体， $β$ 由 $β = - \frac{1}{ρ} \frac{\partial ρ}{\partial \bar{T}}$ 给出。 $\Pr_{t}$ 为湍流普朗特数。 $\bar{T}$ 为平均温度。 $g$ 为重力矢量。
$ϒ_{M}$	可压缩性修正 (Sarkar et al.[314])	图 15. EQUATION_DISPLAY $\frac{ρ C_{M} k ε}{c^{2}}$ (1279)	$C_{M}$ 为模型系数。 $c$ 为声速。
$E$	额外结果	图 16. EQUATION_DISPLAY $C_{k} {(1 - α)}^{3} {ν μ_{t} \frac{k}{ε} [\nabla\cdot (‖ 2 S n ‖ n)]}^{2}$ (1280)	$C_{k}$ 为模型系数。 $n$ 表示壁面法向。

模型系数


系数	EBS	EBL
$C_{1}$	1.7	1.7
$C_{1}^{*}$	-	0.9
$C_{2}$	0.9	-
$C_{3}$	-	0.8
$C_{3}^{*}$	-	0.65
$C_{4}$	-	0.625
$C_{5}$	-	0.2
$C_{ε 1}$	1.44	1.44
$C_{ε 2}$	1.83	1.9
$C_{ε 2}^{*}$	请参见自由流选项。	$C_{ε 2}$
$C_{ε 3}$	请参见 K-Epsilon 模型 — 模型系数。
$C_{k}$	2.3	2.3
$C_{L}$	0.164	0.164
$C_{M}$ (Sarkar)	2	2
$C_{μ}$	0.22	0.22
$C_{η}$	75	75
$C_{P 3}$	-	请参见阻尼函数。
$C_{T}$	1	1
$C_{t}$	4	4
$σ_{ε}$	1.5	1.2
$σ_{φ}$	1	1
$σ_{k}$	1	1

自由流选项

标准椭圆混合模型和其他双方程模型之间的一项重要差异为破坏项

C_{ε 2}^{*}

的系数的定义。此项定义为湍动能梯度的函数，以减小自由流开始主导的缺陷层中的

C_{ε 2}

值。但是，对于某些外部空气动力情况，此公式可能导致自由流不稳定。对于此类情况，建议使用

C_{ε 2}

常数值：


自由流选项	$C_{ε 2}^{*}$
Variable C2e Option(变量 C2e 选项)	图 17. EQUATION_DISPLAY $C_{ε 2} + α^{3} (1 - C_{ε 2}) \tanh [{\| \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\frac{μ_{t}}{ρ σ_{k}} \frac{\partial k}{\partial x_{j}}) ε^{- 1} \|}^{3 / 2}]$ (1281)
关闭	图 18. EQUATION_DISPLAY $C_{ε 2}$ (1282)

阻尼函数

对于求解粘性层和缓冲层的湍流模型，阻尼函数会模拟壁面附近湍流混合的降低。对于滞后椭圆混合模型，壁面运动阻塞在模型系数

C_{P 3}

中实施，如下：

图 19. EQUATION_DISPLAY

C_{P 3} = \frac{f_{μ}}{C_{μ}} (\frac{2}{3} - \frac{C_{3}}{2})

(1283)

其中， $C_{3}$ 为模型系数，阻尼函数 $f_{μ}$ 定义如下：

图 20. EQUATION_DISPLAY

f_{μ} = \frac{η + α^{3}}{\max (η, 1.87)}

(1284)

时间尺度比 $η$ 计算如下：

图 21. EQUATION_DISPLAY

η = S T_{e}

(1285)

对基本模型的更改

对 Billard 和 Laurence [330] 提出的原始模型的主要更改如下：

出于稳定性原因，移除了 $φ$ 传输方程中的额外交叉扩散项。
$C_{ε 2}^{*}$ 定义中的常数，作用于其缺陷层中的衰变，已从 0.4 增加到 1。
额外耗散项 $E$ （用于考虑粘性壁面效应）已从 $k$ 方程移回到 $ε$ 方程。此更改是为了确保稳定性，以及避免某些情景中出现不期望的再层流化效应。