内容纲要

小白：残差是迭代法的副产品！

小白对CFD计算中的残差不太理解，而且对于大多数CFD软件利用残差用于判断计算是否收敛也是一知半解。

大清早来到实验室，小白发现空荡荡的房间里只有江师姐一个人，再看看墙上的钟，时间为7:15。“真是个勤奋的好孩纸啊”，小白心里嘀咕。

“这么早啊”，小白打招呼。

“早什么啊，还没下班呢。“江师姐头都懒得抬。

“啊，熬通宵了呀？这么拼命干啥子。”小白起身倒了一杯开水冲了一杯早餐牛奶。

“过两天项目要中期汇报，俺们的资料都没整理呢。”江师姐说。“到时候老蓝不让毕业，那才是真真的要人命呢。”

“对了，最近在忙些什么？上次给你的CFD秘笈目录看得怎样了？”江师姐停下手中的活计说道。

“天天上课啊，感觉没啥长进。对了江师姐，你说CFD计算为啥要用残差作为收敛判断的标准？”小白问。

“CFD计算用迭代法求解代数方程组，大家都知道迭代法是用循环的方式进行计算，那么问题来了，计算机程序中的循环必须要有中断条件，否则就成了死循环了。残差经常被用来作为迭代循环的中断条件。“江师姐说。

“那残差是如何作为中断条件的呢？”小白问。

“残差的概念来自于迭代法，指的是同一物理量在两次迭代之间的变化量。从理论上讲，因为方程组的解析解是唯一的，所以残差值应该为零。由于迭代法的初始解并非解析解，因此每一次迭代后的解都会存在差异，当然如果迭代格式很好的话，这个差异会逐渐降低且趋于零。大多数情况下迭代格式没有那么的完美，残差可能会下降到一定程度后不再下降了，此时为了结束循环迭代，可以设置当残差小于某一值后终止迭代。“江师姐解释道。

“我说的很粗糙，不过下面这个示例你可以仔细体会一下。”江师姐接着说。

1 迭代程序中的残差

如下列线性方程组。

采用松弛迭代法求解，并输出三个未知量x1,x2及x3的残差变化曲线。

可以利用下面的程序代码来实现：

# -*- coding: utf-8 -*-#
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def f(x1, x2, x3, count, w):
   it = np.arange(1,count,1)
   count =[]
   x1r = []
   x2r = []
   x3r = []
   for item in it:
       y1 = x1-w*(x1-0.1*x2-0.2*x3-7.2)
       y2 = x2-w*(-0.1*y1+x2-0.2*x3-8.3)
       y3 = x3-w*(-0.2*y1 -0.2 *y2+x3-8.4)
       if (max(abs(y1-x1), abs(y2-x2), abs(y3-x3)) < 0.00001):
           # 设定残差为0.00001
           print('求解结果：x1=%.5f、x2=%.5f、x3=%.5f'% (y1, y2, y3))
           break;
       else:
           x1r.append(abs(y1 - x1))
           x2r.append(abs(y2 - x2))
           x3r.append(abs(y3 - x3))
           count.append(item)
           x1,x2,x3 = y1,y2,y3

   plt.plot(count,x1r,'r',label='x1')
   plt.plot(count,x2r,'b',label='x2')
   plt.plot(count,x3r,'g',label='x3')
   plt.grid()
   plt.yscale('log')
   plt.xlabel('Iteration')
   plt.ylabel('Residual(log)')
   plt.legend()
   plt.show()

f(15,15,8,1000,0.5)

江师姐：上面程序中的0.00001即为残差标准，该程序采用的是绝对残差，即同一变量的两次迭代结果的差的绝对值。实际应用中常采用相对残差，即用两次迭代差值再除以上一次的值。

上面的代码采用松弛因子0.5进行计算，程序输出为：

求解结果：x1=10.99998、x2=11.99998、x3=12.99998

经过22次迭代达到收敛，输出的残差变化曲线如下图所示。

下图是改用松弛因子1.0计算的残差曲线。计算在迭代6步后达到收敛。

程序输出：

求解结果：x1=11.00000、x2=12.00000、x3=13.00000

下图利用松弛因子1.5进行计算得到的残差图。计算在迭代21次后达到收敛。

虽然残差振荡得厉害，但代码输出结果依然得到了正确的解。

求解结果：x1=11.00000、x2=12.00000、x3=13.00000

需要注意的是：

上面采用的三种不同的松弛因子（0.5,1.0,1.5）进行计算，最终均收敛值1e-5，虽然残差曲线不同，但最终获取的计算结果是相同的，均为（11,12,13）。
残差降低到收敛标准，只能表示计算收敛，但无法证明结果正确与否。但是能确定的是，计算没有达到收敛，其结果肯定是不正确的。
残差标准在一定程度上可以控制计算精度